Contoh Soal Hots Matematika Turunan Fungsi Aljabar

Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Calon guru belajar matematika bawah SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Orang Fungsi Trigonometri. Turunan fungsi trigonometri ini merupakan kelanjutan atau ekspansi berpunca turunanan kebaikan aljabar.

Setimbang halnya dengan sosok kurnia aljabar bahwa untuk belajar ilmu hitung bawah orang fungsi trigonometri, cak semau baiknya kita sudah invalid paham adapun limit arti aljabar. Terkhusus pun bakal berlatih bani adam fungsi trigonometri, kita pun sudah sparing limit fungsi trigonometri, karena ini adalah salah suatu syarat perlu, agar lebih cepat internal belajar turunan fungsi.

Penerapan cucu adam fungsi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari silam banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-sifat sreg turunan fungsi trigonometri bukanlah kejadian sukar, takdirnya kita cak hendak mengajuk step by step nan kita diskusikan lega alternatif pembahasan pertanyaan dibawah ini, maka kita akan bisa mengetahui soal-soal turunan faedah trigonometri.

Turunan (diferensial) berasal sebuah fungsi $f$ adalah guna yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah kebaikan dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka sosok pertama fungsi tersebut ialah $f'(x)$, didefinisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa skor limit ini cak semau. Jika $f'(x)$ bisa diperoleh $f$ dikatakan dapat diturunakan (diferentiable).

Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), rancangan tak yang publik dipakai pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ adalah $y'$ ataupun $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$.

ATURAN Basyar FUNGSI

Berasal definisi turunan fungsi di atas, diperoleh beberapa kebiasaan dasar turunan guna yang dapat digunakan pada makhluk kelebihan aljabar atau turunan faedah trigonometri, antara lain:

Seandainya $f(x)=k$ (k:konstanta) maka $f'(x)=0$
Kalau $f(x)=x$ maka $f'(x)=1$
Seandainya $f(x)= kx^{tepi langit}$ maka $f'(x)=knx^{n-1}$
Seandainya $f(x)= k \cdot u(x)$ maka $f'(x)=k \cdot u'(x)$
Takdirnya $f(x)=u(x)+v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) + v'(x)$
Jikalau $f(x)=u(x) - v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) - v'(x)$
Jika $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$
Jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$
Kalau $f(x)= u^{n}(x)$ maka $f'(x)=lengkung langit \cdot u^{ufuk-1}(x) \cdot u'(x)$
Kalau $f(x)= \left |u(x) \right | $ maka $f'(x)=\dfrac{u(x)}{\left | u(x) \right |} \cdot u'(x),\ \ u\neq 0 $
Jika $f(x)= ln\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
Jika $f(x)=e^{u(x)}$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot e^{u(x)}$
Jika $f(x)=log_{a}u(x)$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)}{ln\ a \cdot u(x)}$
Jika $f(x)=a^{u(x)}$ maka $f'(x)=a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot ln\ a$

ATURAN TURUNAN Kelebihan TRIGONOMETRI

Dari definisi turunan faedah, selain beberapa aturan sreg manusia fungsi di atas, distingtif buat orang fungsi trigonometri diperoleh beberapa aturan radiks orang fungsi, yaitu:

Jikalau $f(x)=sin\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot cos\ u(x)$
Jikalau $f(x)=cos\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot sin\ u(x)$
Sekiranya $f(x)= tan\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot sec^{2}\ u(x)$
Jika $f(x)= cot\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csc^2\ u(x)$
Jika $f(x)= sec\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot sec\ u(x)\ tan\ u(x)$
Jika $f(x)=csc\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csc\ u(x)\ cot\ u(x)$
Jika $f(x)=arcsin\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
Jika $f(x)=arccos\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
Jika $f(x)=arctan\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1+u^{2}(x)}$
Jika $f(x)=arccot\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{1+u^{2}(x)}$
Jika $f(x)=arcsec\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{|u(x)| \sqrt{u^{2}(x)-1}}$
Jika $f(x)=arccsc\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{|u(x)| \sqrt{u^{2}(x)-1}}$
Jika $f(x)=sinh\ u(x)$ maka $f'(x)= u'(x) \cdot cosh\ u(x)$
Kalau $f(x)=cosh\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot sinh\ u(x)$
Seandainya $f(x)=tanh\ u(x)$ maka $f'(x)=u'(x) \cdot sech^{2}\ u(x)$
Sekiranya $f(x)=coth\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csch^2\ u(x)$
Jika $f(x)=sech\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot sech\ u(x)\ tanh\ u(x)$
Jika $f(x)=csch\ u(x)$ maka $f'(x)=-u'(x) \cdot csch\ u(x)\ coth\ u(x)$
Takdirnya $f(x)=sinh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x)+1}}$
Takdirnya $f(x)=cosh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u^{2}(x)-1}}$
Jika $f(x)=tanh^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1-u^{2}(x)}$
Jika $f(x)=coth^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1-u^{2}(x)}$
Jika $f(x)=sech^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{u(x)\sqrt{1-u^{2}(x)}}$
Jika $f(x)=csch^{-1}\ u(x)$ maka $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{|u(x)| \sqrt{1+u^{2}(x)}}$

MENENTUKAN GRADIEN GARIS Senggol KURVA

Kalau kurva $y=f(x)$ disinggung maka dari itu garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ adalah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

Manfaat Naik DAN Fungsi TURUN

Jika $f'(x) \gt 0$ maka keistimewaan $y=f(x)$ naik atau sebaliknya takdirnya $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$
Jika $f'(x) \lt 0$ maka khasiat $y=f(x)$ turun maupun sebaliknya jika $y=f(x)$ merosot maka $f'(x) \lt 0$

Biji MAKSIMUM atau Kredit MINIMUM

Nilai maksimum atau minimum suatu kemujaraban $f(x)$ dapat ditentukan dengan uji turunan purwa atau uji turunan kedua.

Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimal $f(x)$ ialah $f(a)$.
Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ adalah pembuat $f(x)$ maskimum maupun nilai maksimum $f(x)$ adalah $f(a)$.

Bagi menstabilkan beberapa rasam radiks cucu adam kurnia trigonometri di atas, mari kita coba beberapa soal tutorial nan kita pilih secara acak pecah cak bertanya-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk sekolah tinggi negeri ataupun sekolah kedinasan😊.

1. Soal UMPTN 1992 Untai A |*Pertanyaan Pola

Diketahui fungsi $f(x)=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis senggol grafiknya puas $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong tunam $y$ di titik $x=\left( 0,b \right)$. Angka $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (C)\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ (E)\ & 2+\dfrac{\pi}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bikin kita pulang ingatan bahwa jika $y=sin\ x$ maka $y'=cos\ x$ dan $y=cos\ x$ maka $y'=-sin\ x$.

Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ pada $f(x)=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$ maka kita peroleh:
$\begin{align}
y &=\dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ &=\dfrac{2+cos\ 90^{\circ}}{sin\ 90^{\circ}} \\ &=\dfrac{2+0}{1}=2 \\ \hline
(x,y) &= \left( 90^{\circ},2 \right)
\end{align}$

Gradien garis singgung di sebuah noktah dapat kita tentukan dengan menggunakan turunan pertama ialah $m=f'(x)$, sehingga detik $x=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$ kita peroleh:
$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline
m=f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left(sin\ x \right)-\left( 2+cos\ x \right)\left(cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -\left( 2cos\ x+cos^{2} x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x-cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left( sin^{2}+cos^{2} x \right) -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1 -2cos\ 90^{\circ} }{sin^{2} 90^{\circ}} \\ &= \dfrac{ - 1 -2 (0) }{(1)^{2}} \\ &= -1 \\ \end{align}$
Persaman garis kerjakan $m=-1$ puas $(x,y)= \left( 90^{\circ},2 \right)$ yakni:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m \left( x-x_{1} \right) \\ y-2 &= -1 \left( x- 90^{\circ} \right) \\ y-2 &= -x+ 90^{\circ} \\ y &= -x+2+ 90^{\circ}
\end{align}$
Garis memotong tali api $y$ di titik $\left( 0,b \right)$ sehingga:
$\begin{align}
y &= -x+2+ 90^{\circ} \\ b &= -0+2+ 90^{\circ} \\ b &=2+ 90^{\circ}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 2+\dfrac{\pi}{2}$

2. Soal UMPTN 1993 Rayon B |*Pertanyaan Lengkap

Jikalau $f(x)= - \left( cos^{2}x-sin^{2}x \right)$, maka $f'(x)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \left( cos\ x + sin\ x \right) \\ (B)\ & 2 \left( cos\ x - sin\ x \right) \\ (C)\ & sin\ x\ cos\ x \\ (D)\ & 2\ sin\ x\ cos\ x \\ (E)\ & 4\ sin\ x\ cos\ x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bakal menyelesaikan soal ini kita meminjam kebiasaan terbit identitas trigonometri merupakan $sin\ 2x=2\ sin\ x\ cos\ x$ dan $cos\ 2x=cos^{2}x-sin^{2}x$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(x) &= - \left( cos^{2}x-sin^{2}x \right) \\ &= - \left( -2\ sin\ 2x \right) \\ &= 2\ sin\ 2x \\ &= 2\ \cdot 2 sin\ x\ cos\ x \\ &= 4 sin\ x\ cos\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\ sin\ x\ cos\ x$

3. Cak bertanya UMPTN 1993 Makao B |*Pertanyaan Teoretis

Jika $y=3x^{4}+sin\ 2x +cos\ 3x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ (B)\ & 12x^{3}+ cos\ 2x - sin\ 3x \\ (C)\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x +3\ sin\ 3x \\ (D)\ & 12x^{3}-2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ (E)\ & 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
y &=3x^{4}+sin\ 2x +3\ cos\ 3x \\ \dfrac{dy}{dx} &=3(4)x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x \\ &=12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai ialah $(E)\ 12x^{3}+2\ cos\ 2x -3\ sin\ 3x$

4. Tanya UMPTN 1993 Lungsin C |*Soal Model

Jika $y=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x$, maka $\dfrac{dy}{dx}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ (B)\ & 6\ cos\ 3x -3\ sin\ 2x \\ (C)\ & 2\ cos\ 3x +3\ sin\ 2x \\ (D)\ & 6\ cos\ 3x +6\ sin\ 2x \\ (E)\ & -6\ cos\ 3x - 6\ sin\ 2x \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
y &=2\ sin\ 3x -3\ cos\ 2x \\ \dfrac{dy}{dx} &=2(3)\ cos\ 3x -3 \left(-2\ sin\ 2x \right) \\ &=6\ cos\ 3x +6 \ sin\ 2x
\end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai adalah $(E)\ 12x^{3}+2cos\ 2x -3 sin\ 3x$

5. Cak bertanya UMPTN 1999 Rayon A |*Soal Lengkap

Sekiranya $f(x)=\dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}$, $sin\ x \neq 0$ dan $f'(x)$ adalah bani adam $f(x)$, maka $f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) $
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline
f(x)\ &= \dfrac{u}{v}\ \rightarrow f'(x) = \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ \hline
f'(x) &= \dfrac{\left( cos\ x - sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{cos\ x\ sin\ x - sin^{2} x- sin\ x\ cos\ x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - sin^{2} x-cos^{2}x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left( sin^{2} x+cos^{2}x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} x} \\ \hline
f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) &= \dfrac{ - 1}{sin^{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \right)} \\ &= \dfrac{ - 1}{1} = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

6. Soal UMPTN 1998 Rayon A |*Soal Ideal

Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & \pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Catatan calon guru yang bisa jadi kita perlukan adapun Hamba allah Kurnia yaitu jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila kerangka ini tidak ingat waktu ujian maka, peristiwa yang paling bisa jadi kita lakukan yakni menempatkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai rasam $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi ataupun substitusi, kita sambut:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline
2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$

7. Tanya SPMB 2002 Regional I |*Soal Ideal

Turunan pertama dari $y=cos^{4}\ x$ yaitu...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4}\ cos^{3}x \\ (C)\ & \dfrac{1}{4}\ sin^{3}x \\ (D)\ & -4\ sin^{3}x cos\ x \\ (E)\ & -4\ cos^{3}x\ sin\ x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untk menyelesaikan masalah di atas kita coba dengan pemisalan:
$\begin{align}
u & = cos\ x \\ \dfrac{du}{dx} & = -sin\ x \\ \hline
y & = cos^{4}\ x\\ y & = u^{4} \\ \dfrac{dy}{du} & = 4u^{3} \\ \hline
\dfrac{dy}{dx} & = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ & = 4u^{3} \cdot \left( -sin\ x \right) \\ & = 4cos^{3}\ x \cdot \left( -sin\ x \right) \\ & = -4cos^{3}\ x \cdot sin\ x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -4\ cos^{3}\ x \cdot sin\ x$

8. Soal UM STIS 2011 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \dfrac{24}{5} \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & \dfrac{39}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Garitan calon guru yang mungkin kita perlukan adapun Khalayak Fungsi adalah jika $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak bangun waktu ujian maka, hal yang minimum kelihatannya kita cak bagi yakni menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai adat $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$.
$\begin{align}
f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline
f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi ataupun substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline
2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline
a+b=0
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$

9. Tanya SBMPTN 2017 Kode 106/124 |*Soal Lengkap

Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$\begin{align} (A)\ & 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (B)\ & 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (C)\ & sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (D)\ & sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x) \\ (E)\ & sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bakal mendapatkan sosok pertama dari keistimewaan di atas kita coba gunakan resan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$

Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Perumpamaan $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$

Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
$\begin{split} f'(x) = \dfrac{df}{dx} & = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$

10. Soal SBMPTN 2017 Kode 135 |*Pertanyaan Lengkap

Misalkan $f(x)=2\ tan \left(\sqrt{sec\ x} \right)$, maka $f'(x)\cdots$
$\begin{align} (A)\ & sec^{2} \left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot tan\ x \\ (B)\ & sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ (C)\ & 2sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x \\ (D)\ & sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot sec\ x \cdot tan\ x \\ (E)\ & 2sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot sec\ x \cdot tan\ x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bakal mendapatkan hamba allah mula-mula dari fungsi di atas kita coba gunakan aturan rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$

Soal:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{sec\ x} \right)$
Seumpama $u=sec\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=sec\ x\ \cdot \tan\ x$

Tanya:$f(x)=2\ tan \left(\sqrt{u} \right)$
Misal $v=\sqrt{u}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$

Soal:$f(x)=2\ tan \left( v \right)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=2sec^{2}(v)$
$\begin{split}
f'(x) = \dfrac{df}{dx} &= \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =2sec^{2}(v) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =2sec^{2}\left( \sqrt{u} \right) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & =sec^{2}\left( \sqrt{sec\ x} \right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{sec\ x}} \cdot sec\ x\ \cdot \tan\ x \\ & = sec^{2}\left( \sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot \tan\ x \end{split}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai adalah $(B)\ sec^{2}\left(\sqrt{sec\ x} \right) \cdot \sqrt{sec\ x} \cdot tan\ x$

11. Soal SPMB 2005 Regional II |*Cak bertanya Lengkap

Turunan pertama bersumber faedah $f(x)=\dfrac{1+cos\ x}{sin\ x}$ merupakan $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1-sin\ x}{sin^{2}x} \\ (B)\ & \dfrac{ sin\ x-1}{cos\ x-1} \\ (C)\ & \dfrac{ 2}{cos\ x+1} \\ (D)\ & \dfrac{ 2}{sin\ x-1} \\ (E)\ & \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f(x)\ &= \dfrac{1+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline & u\ = 1+cos\ x \rightarrow u'=-sin\ x \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'=cos\ x \\ \hline f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( 1 + cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -sin^{2}\ x - cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -\left( sin^{2}\ x+cos^{2} x \right) - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ -1 - cos\ x}{sin^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left(1 + cos\ x \right)}{1-cos^{2} x} \\ &= \dfrac{ - \left(1 + cos\ x \right)}{\left(1 + cos\ x \right)\left(1 - cos\ x \right)} \\ &= \dfrac{ -1 }{ \left(1 - cos\ x \right)} \\ &= \dfrac{1}{cos\ x-1} \end{align}$

$\therefore$ Saringan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{1}{cos\ x-1} $

12. Soal SPMB 2005 Kode 772 Regional I |*Soal Lengkap

Jika fungsi $f(x)=sin\ ax + cos\ bx$ memenuhi $f'(0)=b$ dan $f'\left( \frac{\pi}{2a} \right)=-1$, maka $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f(x)\ &= sin\ ax + cos\ bx \\ f'(x)\ &= a\ cos\ ax -b\ sin\ bx \\ \hline f'(0)\ &= a\ cos\ 0 -b\ sin\ 0 \\ b\ &= a\ \cdot 1 -b\ \cdot 0 \\ b\ &= a \\ \hline f'\left( \frac{\pi}{2a} \right)\ &= a\ cos\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -b\ sin\ b\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\ -1\ &= a\ cos\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) -a\ sin\ a\left( \frac{\pi}{2a} \right) \\ -1\ &= a\ cos\ \left( \frac{\pi}{2 } \right) -a\ sin\ \left( \frac{\pi}{2 } \right) \\ -1\ &= a\ \cdot 0 -a\ \cdot 1 \\ -1\ &= -a \\ a\ &= 1\ \rightarrow b=1 \\ a+b\ &= 2 \end{align}$

$\therefore$ Saringan nan sesuai adalah $(D)\ 2$

13. Soal SPMB 2005 Kode 520 Regional II |*Cak bertanya Teoretis

Kalau $f(x)=sin\ x\ cos\ 3x$, maka $f'\left( \frac{1}{6}\pi \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \\ (E)\ & -1\dfrac{1}{2}+\sqrt{3} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f(x)\ &= sin\ x\ cos\ 3x\\ \hline & u\ = sin\ x \rightarrow u'=cos\ x \\ & v\ = cos\ 3x \rightarrow v'=-3\ sin\ 3x \\ \hline \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'(x) &= cos\ x \cdot cos\ 3x + sin\ x \cdot -3\ sin\ 3x \\ &= cos\ x \cdot cos\ 3x -3 sin\ x \cdot sin\ 3x \\ \hline f'\left( \frac{1}{6}\pi \right) &= cos\ \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot cos\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) -3 sin\ \left( \frac{1}{6}\pi \right) \cdot sin\ 3\left( \frac{1}{6}\pi \right) \\ &= cos\ 30^{\circ} \cdot cos\ 90^{\circ} -3 sin\ 30^{\circ} \cdot sin\ 90^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 0 -3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ &= 0 - \dfrac{3}{2} \\ &=- \dfrac{3}{2} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1\dfrac{1}{2}$

14. Soal SPMB 2005 Kode 171 Regional III |*Pertanyaan Transendental

Basyar pertama dari fungsi $y= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2}$ adalah $y'=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 4\ sin^{2}x \\ (C)\ & 4\ sin^{2}x-2 \\ (D)\ & 4\ cos^{2}x-2 \\ (E)\ & 4\ cos^{2}x-4 \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align}
f(x)\ &= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2} \\ &= sin^{2} x\ + cos^{2} x + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + 2\ sin\ x\ cos\ x \\ &= 1 + sin\ 2x \\ f'(x) &= 2\ cos\ 2x \\ &= 2\ \left( 2cos^{2}x-1 \right) \\ &= 4\ cos^{2}x-2 \end{align}$

Alternatif nan lain dapat juga kita gunakan adat manusia yaitu:

$\begin{align}
f(x)\ &= \left( sin\ x\ + cos\ x \right)^{2} \\ f'(x) &= 2 \left( sin\ x\ + cos\ x \right) \left( cos\ x\ - sin\ x \right) \\ &= 2 \left( cos^{2}\ x\ - sin^{2}\ x \right) \\ &= 2 \left( cos^{2}\ x\ - 1 +cos^{2}\ x \right) \\ &= 2 \left( 2cos^{2}\ x\ - 1 \right) \\ &= 4\ cos^{2}x- 2 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4\ cos^{2}x-2$

15. Soal UM UGM 2005 Kode 821 |*Cak bertanya Abstrak

Seandainya $f\left( x \right)= \sqrt{1+sin^{2}x},\ 0 \leq x \leq \pi$, maka $f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right)$ sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & \left( 1+sin^{2}x \right) sin\ x\ cos\ x \\ (B)\ & \left( 1+sin^{2}x \right) \\ (C)\ & sin\ x\ cos\ x \\ (D)\ & sin\ x \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \sqrt{1+sin^{2}x} \\ f\left( x \right)\ &= \left( 1+sin^{2}x \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'\left( x \right)\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( 1+sin^{2}x \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \cdot sin\ x \cdot cos\ x \\ &= \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ \hline f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right) &= \sqrt{1+sin^{2}x} \cdot \dfrac{sin\ x \cdot cos\ x}{\sqrt{1+sin^{2}x}} \\ &= sin\ x \cdot cos\ x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ sin\ x\ cos\ x$

16. Tanya UM UGM 2005 Kode 621 |*Soal Cermin

Diketahui $f\left( x \right)= x\ sin\ 3x$, maka $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ sekufu dengan...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1+ \dfrac{3\pi}{4} \right)\\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left(1+ \dfrac{3\pi}{4} \right)\\ (C)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1- \dfrac{3\pi}{4} \right)\\ (D)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{3\pi}{4}-1 \right)\\ (E)\ & \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \left(1+ \dfrac{3\pi}{4} \right) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= x\ sin\ 3x \\ \hline & u\ = x \rightarrow u'=1 \\ & v\ = sin\ 3x \rightarrow v'= 3\ cos\ 3x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'(x) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ f'(x) &= 1 \cdot sin\ 3x + x \cdot 3\ cos\ 3x \\ &= sin\ 3x + 3x \cdot cos\ 3x \\ f'\left( \frac{\pi}{4} \right) &= sin\ 3\left( \frac{\pi}{4} \right) + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot cos\ 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \\ &= sin\ 135^{\circ} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot cos\ 135^{\circ} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(1 - 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(1- \dfrac{3\pi}{4} \right)$

17. Soal UM UGM 2006 Kode 381 |*Cak bertanya Lengkap

Jikalau $f\left( x \right)= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x}$, dengan $cos\ x +sin x \neq 0$ maka $f'\left( x \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1- \left( f(x) \right)^{2}\\ (B)\ & -1+\left( f(x) \right)^{2}\\ (C)\ & - \left(1+ \left( f(x) \right)^{2} \right) \\ (D)\ & 1 + \left( f(x) \right)^{2}\\ (E)\ & \left( f(x) \right)^{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f\left( x \right)\ &= \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x + sin\ x} \\ \hline & u\ = cos\ x -sin\ x \rightarrow u'=-sin\ x - cos\ x \\ & v\ = cos\ x + sin\ x \rightarrow v'= -sin\ x + cos\ x \\ \hline f(x)\ &= \dfrac{u}{v} \\ f'(x) &= \dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f'(x) &= \dfrac{\left( -sin\ x - cos\ x \right)\left( cos\ x + sin\ x \right)-\left( cos\ x -sin\ x \right)\left( -sin\ x + cos\ x \right)}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( sin\ x + cos\ x \right)^{2} -\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} } \\ &= \dfrac{-\left( sin\ x + cos\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2}} - \dfrac{\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} }\\ &= -1 - \dfrac{\left( cos\ x -sin\ x \right)^{2}}{\left( cos\ x + sin\ x \right)^{2} }\\ &= -1 - \left( f(x) \right)^{2} \end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai adalah $(C)\ - \left(1+ \left( f(x) \right)^{2} \right)$

18. Tanya UMPTN 1994 Rayon B |*Soal Contoh

Jika $f(x)=x\ cos\ x$, maka $f'\left(x + \frac{\pi}{2} \right)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (B)\ & -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (C)\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (D)\ & -sin\ x\ + x\ cos\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \\ (E)\ & -cos\ x\ + x\ sin\ x + \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk kita ingat bahwa $y=sin\ \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=cos\ x$ dan $y=cos\ \left(\frac{\pi}{2}+x \right)=-sin\ x$.

$\begin{align} f(x) &= x\ cos\ x \\ f\left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= \left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ cos\ \left(x + \frac{\pi}{2} \right) \\ &= -\left(x + \frac{\pi}{2} \right)\ sin\ x \\ \hline & u\ = -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow u'=-1 \\ & v\ = sin\ x \rightarrow v'= cos\ x \\ \hline f(x)\ &= u \cdot v \\ f'\left(x \right) &= u' \cdot v + u \cdot v' \\ \hline f' \left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= -1 \cdot sin\ x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x -\left(x + \frac{\pi}{2} \right) \cdot cos\ x \\ &= -sin\ x - x\ cos\ x - \frac{\pi}{2}\ cos\ x \end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai adalah $(B)\ -sin\ x\ -x\ cos\ x - \frac{pi}{2}\ cos\ x$

19. Cak bertanya UMPTN 2001 Rayon C |*Soal Lengkap

Garis $g$ menyinggung kurva $y=sin\ x + cos\ x$ di titik yang berabsis $\dfrac{1}{3}\pi$. Gradien garis nan merembah lurus puas garis $g$ merupakan...
$\begin{align} (A)\ & 1-\sqrt{3} \\ (B)\ & 1+\sqrt{3} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk kita ingat bahwa seandainya garis $g$ dan garis $l$ yakni dua buah garis ganti tegak lurus maka multiplikasi gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.

$\begin{align} y &= sin\ x + cos\ x \\ y' &= cos\ x - sin\ x \\ \hline m_{x=\frac{1}{3}\pi} &= cos\ \frac{1}{3}\pi - sin\ \frac{1}{3}\pi \\ &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$

Gradien garis nan tegak lurus dengan garis singgung $g$ bergradien $m_{g}=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah:
$\begin{align} m_{g} \cdot m_{l} &= -1 \\ m_{l} &= \dfrac{-1}{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2}{1 - \sqrt{3}} \times \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-2 \left( 1 + \sqrt{3} \right)}{1-3} \\ &= 1 + \sqrt{3} \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai merupakan $(B)\ 1+\sqrt{3}$

20. Soal SNMPTN 2011 Kode 578 |*Pertanyaan Paradigma

Diketahui $f\left( x \right)=x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x$. Persamaan garis senggol di $f$ yang melalui titik dasar yaitu...
$\begin{align} (A)\ & x=0 \\ (B)\ & y=0 \\ (C)\ & y=x \\ (D)\ & y=-x \\ (E)\ & \text{tidak suka-suka} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis Cak bagi kita bangun bahwa takdirnya garis $g$ dan garis $l$ adalah dua buah garis saling tegak lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ atau dapat kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= x^{\frac{1}{3}}\ sin\ x \\ f'\left( x \right) &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ \end{align}$

Gradien garis singgung lega kurva yang melalui noktah asal yaitu:
$\begin{align} m_{g} &= \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}\ sin\ x + x^{ \frac{1}{3}}\ cos\ x \\ &= \frac{1}{3} \cdot \left( 0 \right)^{-\frac{2}{3}}\ sin\ \left( 0 \right) + \left( 0 \right)^{ \frac{1}{3}}\ cos\ \left( 0 \right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ &= 0 \end{align}$

Garis singgung melaluit titik dasar $\left( 0,0 \right)$ dengan gradien $m=0$ adalah:
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\ y-0 &= 0 \left(x- 0 \right) \\ y &= 0 \end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai adalah $(B)\ y=0$

21. Tanya SNMPTN 2010 KOde 528 |*Soal Teladan

Jika garis senggol kurva $y=2x\ cos^{3} x$ di titik $\left( \pi, -2\pi \right)$ tegak harfiah dengan garis $g$, maka paralelisme garis $g$ yaitu...
$\begin{align} (A)\ & y=2x-3\pi \\ (B)\ & y=2x+\pi \\ (C)\ & y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\pi \\ (D)\ & y=-\dfrac{1}{2}x+3\pi \\ (E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+\pi \\ \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bikin kita pulang ingatan bahwa jika garis $g$ dan garis $l$ ialah dua buah garis tukar samar muka lurus maka perkalian gradiennnya adalah $-1$ alias bisa kita tuliskan $m_{g} \cdot m_{l}=-1$.

$\begin{align} y &= 2x\ cos^{3} x \\ y' &= 2 \cdot cos^{3}\ x +2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x \left( -sin\ x \right) \\ &= 2 \cdot cos^{3}\ x - 2x \cdot 3 \cdot cos^{2}\ x\ sin\ x \\ \hline m_{x=\pi} &= 2 \cdot cos^{3}\ \pi - 2\pi \cdot 3 \cdot cos^{2}\ \pi\ sin\ \pi \\ &= 2 \cdot (-1)^{3} - 2\pi \cdot 3 \cdot (-1)^{2}\ (0) \\ &= 2 \cdot (-1) - 0 = -2 \end{align}$

Karena dua garis yang tegak lurus multiplikasi gradiennya adalah $-1$ sehingga gradien garis yang tegak lurus dengan garis bergradien $m_{g}=-2$ adalah $ m_{l}=\dfrac{1}{2} $

Persamaan garis di titik $\left( \pi, -2\pi \right)$ yang agak gelap literal dengan garis $g$ merupakan
$\begin{align} y-y_{1} &= m \left(x-x_{1} \right) \\ y+2\pi &= \dfrac{1}{2} \left(x- \pi \right) \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{1}{2}\pi -2\pi \\ y &= \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{2}x- \dfrac{5}{2}\pi $

22. Tanya SIMAK UI 2012 Kode 523 |*Tanya Kamil

Diberikan $f(x)=sin^{2}x$. Sekiranya $f'(x)$ menyatakan manusia pertama terbit $f(x)$, maka $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \}=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & sin\ 2x \\ (B)\ & -cos\ 2x \\ (C)\ & 2\ cos\ 2x \\ (D)\ & 2\ sin\ x \\ (E)\ & -2\ cos\ x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bentuk limit $\lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \}$ sreg tanya memiliki kemiripan dengan definisi manusia kemujaraban merupakan:
$\begin{align} y &= f(x) \\ f'(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f(x+p)-f(x)}{p} \\ f''(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f'(x+p)-f'(x)}{p} \\ f^{(3)}(x) &= \lim\limits_{p \to 0} \dfrac{f''(x+p)-f''(x)}{p} \\ \vdots & \end{align}$

Jika kita misalkan $h=\dfrac{1}{a}$ maka kita peroleh $a=\dfrac{1}{h}$

Lewat bikin $h \rightarrow \infty$ kita cak dapat $a \rightarrow 0$

Dari barang apa yang kita peroleh di atas kita substitusikan pada tanya, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} & \lim\limits_{h \to \infty} h \left\{ f' \left ( x+\frac{1}{h} \right ) -f'(x)\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{1}{a} \left\{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)\right \} \\ &= \lim\limits_{a \rightarrow 0} \dfrac{ f' \left ( x+ a \right ) -f'(x)}{a} \end{align}$

Dari bentuk di atas bisa kta simpulkan bahwa yang ditanyakan sreg soal adalah turunan kedua bermula kurnia $f(x)=sin^{2}x$, yaitu:
$\begin{align} f(x) &= sin^{2}x \\ f'(x) &= 2\ \cdot sin\ x\ cos\ x \\ f''(x) &= 2\ \cdot cos\ x\ \cdot cos\ x + 2 \cdot sin\ x \cdot \left(-sin\ x \right) \\ &= 2\ \cdot cos^{2}x - 2 \cdot sin^{2}x \\ &= 2\ \left( cos^{2}x - sin^{2}x \right) \\ &= 2\ cos\ 2x \end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai ialah $(C)\ 2\ cos\ 2x$

23. Soal UM UGM 2014 Kode 532 |*Soal Lengkap

Seandainya $f\left( x \right)= \left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ 2x + sin\ 2x \right)$ dan $f'\left( x \right)=2\ cos\ 3x +g(x)$ maka $g(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & cos\ 3x +sin\ x \\ (B)\ & cos\ 3x -sin\ x \\ (C)\ & cos\ x +sin\ x \\ (D)\ & cos\ x - sin\ x \\ (E)\ & -cos\ x + sin\ x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita siapa memerlukan catatan Rumus Jumlah dan Beda Dua Sudut lega perbandingan trigonometri.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \left( sin\ x + cos\ x \right)\left( cos\ 2x + sin\ 2x \right)\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x\\ &= sin\ x\ cos\ 2x + cos\ x\ sin\ 2x + sin\ x\ sin\ 2x + cos\ x\ cos\ 2x \\ &= sin \left( 2x+x \right) + cos \left(2x-x \right) \\ &= sin \left( 3x \right) + cos \left( x \right) \\ f'\left( x \right)\ &= 3\ cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + cos \left( 3x \right) - sin \left( x \right) \\ \hline f'\left( x \right)\ &= 2\ cos \left( 3x \right) + g \left( x \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai adalah $(B)\ cos\ 3x -sin\ x$

24. Cak bertanya SBMPTN 2014 Kode 589/586 |*Soal Pola

Jika $f\left( x \right)= 2x + sin\ 2x$ kerjakan $-\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} $, maka $f'(x)=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left ( tan\ x \right )^{i} \\ (B)\ & 4\ \left ( 1-cos^{2}x \right ) \\ (C)\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} \\ (D)\ & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left ( -sin\ x \right )^{2i} \\ (E)\ & 4\ cos\ 2x \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} f\left( x \right) &= 2x + sin\ 2x \\ f '\left( x \right) &= 2 + 2\ cos\ 2x \\ &= 2 \left(1 + cos\ 2x \right) \\ &= 2 \left(1 + 2cos^{2}x-1 \right) \\ &= 4cos^{2}x \end{align}$

Setakat pada langkah di atas kita belum mendapatkan jawaban seperti apa yang diinginkan pembuat soal. Kita coba mengeksplorasi beberapa pilihan yang suka-suka. Untuk seleksian $(B)$ dan $(E)$ mutakadim tidak siapa lagi menjadi jawaban, sehingga yang perlu kita eksplorasi adalah pilihan $(A)$, $(C)$, atau $(D)$.

Disini yang kita memperbedakan lakukan di penekanan adalah pilihan $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i}$

$\begin{align} & 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} \\ & =4 \left [ \left( -1 \right )^{0} \left ( tan\ x \right )^{2(0)}+\left( -1 \right )^{1} \left ( tan\ x \right )^{2(1)} + \left( -1 \right )^{2} \left ( tan\ x \right )^{2(2)} +\cdots \right]\\ & =4 \left[ \left( 1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{0}+\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{2 }+(1) \left ( tan\ x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{6} +\cdots \right] \\ & = 4 \left[ 1 + \left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{2 }+\left( 1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{4} +\left( -1 \right ) \left ( tan\ x \right )^{6} +\cdots \right] \\ \hline & a=1\ \text{dan}\ r=-tan^{2}x \\ & S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r} \\ \hline & = 4 \left[ \dfrac{1}{1+ tan^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ \dfrac{1}{sec^{2}x} \right] \\ & = 4 \left[ cos^{2}x \right] \\ \end{align}$

Dari hasil penelitian di atas kita peroleh $4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i} = 4 \left[ cos^{2}x \right]$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai adalah $(C)\ 4\ \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( -1 \right )^{i} \left ( tan\ x \right )^{2i}$

25. Soal SBMPTN 2015 Kode 534 |*Soal Lengkap

Keistimewaan $f\left( x \right)= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}$ bagi $- \pi \lt x \lt 2\pi$, turun pada pause...
$\begin{align} (A)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{5\pi}{12} \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\ (D)\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{7\pi}{12} \\ (E)\ & -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Invalid catatan turunan fungsi kita tuliskan yaitu buat $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= -\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi} \\ f '\left( x \right) &= -\dfrac{-2\ cos\ x\ sin\ x + \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{2\ cos\ x\ sin\ x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ roboh maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga boleh kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & \lt 0 \\ \end{align}$

Kerjakan menentukan perampungan pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} & = 0 \\ sin\ 2x - \frac{1}{2} & = 0 \\ sin\ 2x & = \frac{1}{2} \\ sin\ 2x & =sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 2x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{11\pi}{12},\frac{ \pi}{12},\frac{13\pi}{12} \\ \hline 2x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 2x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi \\ x & =-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12} \end{align}$

Ancang lebih jauh separas sama dengan menentukan daerah perampungan puas pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya sreg garis kadar habis menguji nilai $x$ dan menetukan distrik ataupun batasan kredit $x$ nan mengakibatkan $f '\left( x \right) \lt 0$

Tetapi bilamana ini kita coba manganalisa dari penyelenggara kosong yang kita cak dapat di atas dan sortiran $(A),(B),(C),(D),(E)$. Puas tanya pilihan yang kita uji ialah $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pembuat hampa pada batas atas dan batas bawahnya.

Kita uji kredit $x$ dari $-\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$ yaitu $x=0$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{sin\ 2x - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}x+\frac{x}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{sin\ 2(0) - \frac{1}{2}}{2\sqrt{cos^{2}(0)+\frac{0}{2}+\pi}} \\ &= \dfrac{- \frac{1}{2}}{2+\pi} \lt 0 \\ & \text{mujarab}\ f '\left( x \right) \lt 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai merupakan $(E)\ -\dfrac{7\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{\pi}{12}$

26. Tanya SBMPTN 2015 Kode 541 |*Pertanyaan Komplet

Khasiat $f\left( x \right)= \sqrt{cos^{2}2x+x}$ untuk $ x \gt 0$, menanjak pada interval...
$\begin{align} (A)\ & \dfrac{4\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{12} \\ (B)\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24} \\ (C)\ & \dfrac{7\pi}{6} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{6} \\ (D)\ & \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{24} \\ (E)\ & \dfrac{5\pi}{12} \lt x \lt \dfrac{11\pi}{12} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Invalid catatan turunan kebaikan kita tuliskan yaitu untuk $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{cos^{2}2x+x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{-2\ cos\ 2x\ \cdot 2 \cdot sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-4\ cos\ 2x\ sin\ 2x + 1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ menanjak maka $f'\left( x \right) \gt 0$, sehingga boleh kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \gt 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & \gt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yaitu:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} & = 0 \\ -2 sin\ 4x +1 & = 0 \\ 2sin\ 4x & = 1 \\ sin\ 4x & = \dfrac{ 1}{2} \\ sin\ 4x & = sin\ \frac{ \pi}{6} \\ \hline 4x & =\frac{ \pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{ \pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2}\\ x & =\frac{\pi}{24},\ \frac{13 \pi}{12},\ \frac{25\pi}{24},\cdots \\ \hline 4x & =\pi-\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ 4x & = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \\ x & = \frac{5\pi}{24} + k \cdot \frac{ \pi}{2} \\ x & = \frac{5\pi}{24},\ \frac{17\pi}{24},\ \frac{29\pi}{24},\cdots \end{align}$

Langkah lebih lanjut sama seperti menentukan daerah penuntasan lega pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya pada garis bilangan lalu menguji nilai $x$ dan menetukan distrik atau batasan nilai $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$

Tetapi puas saat ini kita coba manganalisa terbit pelaksana zero yang kita peroleh di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada pertanyaan saringan yang kita uji adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ karena hanya pilihan ini yang memuat penggubah nol pada batas atas dan batas bawahnya.

Kita uji skor $x$ dari $\dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$ yaitu $x=\dfrac{12\pi}{24}=90$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{-2 sin\ 4x +1}{2\sqrt{cos^{2}2x+x}} \\ &= \dfrac{-2 sin\ 4(90) +1}{2\sqrt{1+(90)}} \\ &= \dfrac{0+1}{2\sqrt{1+(90)}} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{1+(90)}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \gt 0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5\pi}{24} \lt x \lt \dfrac{13\pi}{24}$

26. Soal SBMPTN 2015 Kode 510 |*Soal Lengkap

Kekuatan $f\left( x \right)= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}$ untuk $ -\pi \leq x \leq \pi$, turun pada interval...
$\begin{align} (A)\ & 0 \leq x \leq \dfrac{ \pi}{ 2} \\ (B)\ & 0 \lt x \lt \pi \\ (C)\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq 0 \\ (D)\ & -\dfrac{ \pi}{ 3} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Tekor catatan hamba allah kekuatan kita tuliskan yaitu bagi $y=\sqrt{f(x)}$ maka $y'=\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

$\begin{align} f\left( x \right) &= \sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x} \\ f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \end{align}$

Agar $f\left( x \right)$ terban maka $f'\left( x \right) \lt 0$, sehingga dapat kita tuliskan:
$\begin{align} f '\left( x \right) & \lt 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & \lt 0 \\ \end{align}$

Untuk menentukan penuntasan pertidaksamaan di atas kita cari pembuat nolnya, yakni:

$\begin{align} f '\left( x \right) & = 0 \\ \dfrac{\frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} & = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{2}}- cos\ x & = 0 \\ cos\ x & = \frac{x}{\sqrt{2}} \\ cos\ x & = cos\ \frac{ \pi}{4} \\ \hline x & =\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =\frac{\pi}{4} \\ \hline x & =-\frac{ \pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ x & =-\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4} \\ \end{align}$

Langkah seterusnya sama seperti mana menentukan daerah penyelesaian sreg pertidaksamaan, yaitu menggambarkannya plong garis bilangan suntuk menguji nilai $x$ dan menetukan provinsi ataupun batasan poin $x$ yang mengakibatkan $f '\left( x \right) \gt 0$

Cuma kapan ini kita coba manganalisa semenjak penghasil hampa yang kita songsong di atas dan pilihan $(A),(B),(C),(D),(E)$. Pada soal pilihan yang kita uji yaitu $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ karena hanya pilihan ini yang memuat pencipta nol pada takat atas dan senggat bawahnya.

Kita uji nilai $x$ berpokok $-\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$ yakni $x=0$
$\begin{align} f '\left( x \right) &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ x}{2\sqrt{2+\frac{x}{\sqrt{2}}-sin\ x}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- cos\ 0}{2\sqrt{2+\frac{0}{\sqrt{2}}-sin\ 0}} \\ &= \dfrac{\frac{1}{\sqrt{2}}- 1}{2\sqrt{2+0-0}} \gt 0 \\ & \text{terbukti}\ f '\left( x \right) \lt 0 \end{align}$

$\therefore$ Sortiran yang sesuai yakni $(E)\ -\dfrac{ \pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{4}$

27. Soal UMPTN 1996 Kenur A |*Cak bertanya Lengkap

Pertepatan garis yang tegak literal garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ merupakan...
$\begin{align} (A)\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}+1 \\ (B)\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}-1 \\ (C)\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{8}-1 \\ (D)\ & y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}-1 \\ (E)\ & y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Gradien garis singgung kurva $y=tan\ x$ di titik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
y & = tan\ x \\ m=y' & = sec^{2} x \\ & = \dfrac{1}{cos^{2}\ x} \\ & = \dfrac{1}{cos^{2} \left( \frac{\pi}{4} \right)} \\ & = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{2} \sqrt{2} \right)^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left( \frac{1}{4} \cdot 2 \right)} = 2
\end{align}$
Dua garis saling tegak lurus maka pergandaan kedua gradien garis yakni $-1$ atau $m_{1} \cdot m_{2}=-1$, sehingga garis yang takut lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah $m=-\dfrac{1}{2}$.

Persamaan garis yang mengalir perlahan-lahan verbatim dengan garis singgung kurva di bintik $\left( \frac{\pi}{4},1 \right)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}$ adalah:

$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2} \left( x-\frac{\pi}{4} \right) \\ y-1 & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8} \\ y & = -\dfrac{1}{2}x +\dfrac{\pi}{8}+1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai ialah $(E)\ y=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{8}+1$

28. Pertanyaan SIMAK UI 2010 Kode 205 |*Cak bertanya Lengkap

Seandainya diketahui $f(x)= \left| tan (x) \right|$, maka laju pergantian $f(x)$ kapan $x=k$, dimana $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ akan sama dengan...
$\begin{align} (A)\ & -sin\ (k) \\ (B)\ & cos\ (k) \\ (C)\ & -sec^{2}\ (k) \\ (D)\ & sec^{2}\ (k) \\ (E)\ & cot\ (k) \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bersendikan definisi kredit mutlak kelebihan $f(x)= \left| tan (x) \right|$ dapat kita tuliskan,
$ \left| tan (x) \right| =
\left\{\begin{array}{cc}
tan (x),\ \text{bikin}\ tan (x) \geq 0 \\
-tan (x),\ \text{untuk}\ tan (x) \lt 0
\end{array} \right.$

Untuk $k=x$ dan $\dfrac{\pi}{2} \lt k \lt \pi$ maka $x$ bakir di kuadran II diperoleh $tan (x)$ bernilai destruktif sehingga $f(x)=- tan\ x$.

Laju pertukaran $f(x)$ terhadap $x$ boleh kita tuliskan $\dfrac{df(x)}{dx}=-sec^{2}x$, dan laju perlintasan $f(x)$ pada saat $x=k$ merupakan $\dfrac{df(k)}{dx}=-sec^{2}k$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -sec^{2}\ (k)$

29. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 |*Cak bertanya Lengkap

$y= sin\left ( sin\left ( sin\left ( sin\left ( \cdots\left ( sin\left ( sin\ (x) \right ) \right ) \right ) \cdots \right ) \right ) \right ) $ Tentukan $\dfrac{dy}{dx}$ pada $x=0$.
$\begin{align} (A)\ & - \infty \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \infty \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Bakal menuntaskan soal di atas kita lakukan dengan beberapa eksplorasi dengan kepentingan yang sederhana.

Bagi $y=sin(x)$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos(x) \\ f'(0)\ & =cos(0) \\ = 1 \end{align}$

Buat $y=sin\left ( sin\ (x) \right )$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos\left ( sin\ (x) \right ) \cdot cos(x) \\ f'(0)\ & =cos\left ( sin\ (0) \right ) \cdot cos(0) \\ & =cos\left ( 0 \right ) \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$

Bagi $y=sin\left ( sin \left ( sin\ (x) \right ) \right )$
$\begin{align} f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\ & =cos \left ( sin \left ( sin\ (x) \right ) \right ) \cdot cos \left ( sin\ (x) \right ) \cdot cos(x) \\ f'(0)\ & =cos \left ( sin \left ( sin\ (0) \right ) \right ) \cdot cos \left ( sin\ (0) \right ) \cdot cos(0) \\ & =cos \left ( sin \left ( 0 \right ) \right ) \cdot cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \\ & =cos \left ( 0 \right ) \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \cdot 1 \cdot 1 \\ & =1 \end{align}$

Jikalau kita lakukan pengkajian pada langkah berikutnya hasilnya lagi merupakan $1$ dan ini menjawab untuk fungsi $y= sin\left ( sin\left ( sin\left ( sin\left ( \cdots\left ( sin\left ( sin\ (x) \right ) \right ) \right ) \cdots \right ) \right ) \right ) $ hasilnya adalah $1$.

$\therefore$ Seleksian nan sesuai yakni $(C)\ 1$

30. Pertanyaan UMPTN 1991 |*Soal Lengkap

Nilai maksimum pecah $f(x)= 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x$ buat $0 \lt x \lt \pi$, merupakan...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & -12 \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Untuk menyelesaikan tanya di atas kita coba selesaikan dengan uji manusia pertama $f'(x)= 0$

$\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f'(x) & = -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x \end{align}$

Untuk $f'(x)=0$, kita cak dapat:
$\begin{align} -4\ sin\ 2x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ 2\ sin\ x\ cos\ x + 4\ cos\ x & = 0 \\ -4\ cos\ x \left(2\ sin\ x - 1 \right) & = 0 \\ -4\ cos\ x= 0\ \text{alias}\ 2\ sin\ x - 1 & = 0 \\ cos\ x= 0\ \text{atau}\ sin\ x & = \frac{1}{2} \\ \end{align}$

Buat $0 \lt x \lt \pi$ kita peroleh:

Saat $cos\ x= 0$ nilai $x$ yang memenuhi yakni $x=90^{\circ}$
$\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left( 90^{\circ} \right) & = 2\ cos\ 2\left( 90^{\circ} \right) + 4\ sin\ \left( 90^{\circ} \right) \\ & = 2\ cos\ 180^{\circ} + 4 sin\ 90^{\circ} \\ & = 2\ \left( -1 \right) + 4 \left( 1 \right) = 2 \end{align}$
Ketika $sin\ x = \dfrac{1}{2}$ nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=30^{\circ}, 150^{\circ}$
$\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left( 30^{\circ} \right) & = 2\ cos\ 2\left( 30^{\circ} \right) + 4\ sin\ \left( 30^{\circ} \right) \\ & = 2\ cos\ 60^{\circ} + 4 sin\ 30^{\circ} \\ & = 2\ \left( \frac{1}{2} \right) + 4 \left( \frac{1}{2} \right) = 3 \end{align}$
$\begin{align} f(x) & = 2\ cos\ 2x + 4\ sin\ x \\ f \left( 150^{\circ} \right) & = 2\ cos\ 2\left( 150^{\circ} \right) + 4\ sin\ \left( 150^{\circ} \right) \\ & = 2\ cos\ 300^{\circ} + 4\ sin\ 150^{\circ} \\ & = 2\ \left( \frac{1}{2} \right) + 4\ \left( \frac{1}{2} \right) = 3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan nan sesuai yakni $(B)\ 3$

31. Soal UMPTN 1992 |*Soal Lengkap

Diketahui $f(x)= \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x}$. Garis singgung grafiknya pada $x=\dfrac{\pi}{2}$ memotong murang $y$ di titik $\left( 0,b \right)$, nilai $b$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (C)\ & -2+\dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & 2-\dfrac{\pi}{2} \\ (E)\ & 2+\dfrac{\pi}{2} \end{align}$

Alternatif Pembahasan:

Buat mengamankan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama, dimana kita ketahui bahwa gradien garis singgung $m=f'(x)$.

$\begin{align} f(x) & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ \hline u = 2+cos\ x & \rightarrow u'=-sin\ x \\ v = sin\ x & \rightarrow u'=cos\ x \\ \hline f'(x) & = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^{2}} \\ & = \dfrac{\left( -sin\ x \right)\left( sin\ x \right)-\left( 2+cos\ x \right)\left( cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -sin^{2} x -2cos\ x - cos^{2} x }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ - \left(sin^{2} x 2cos\ x + cos^{2} x \right) }{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left(1 +2cos\ x \right)}{sin^{2} x} \end{align}$

Gradien garis singgung $m=f'(x)$ momen $x=\dfrac{\pi}{2}$ adalah:
$\begin{align} m & = \dfrac{ -\left(1 +2cos\ x \right)}{sin^{2} x} \\ & = \dfrac{ -\left(1 +2cos\ \frac{\pi}{2} \right)}{sin^{2} \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{ -\left(1 +2 \cdot 0 \right)}{(1)^{2}} = -1 \end{align}$

Untuk $x=\dfrac{\pi}{2}$, kita peroleh $y=f(x)$, yaitu:
$\begin{align} y & = \dfrac{2+cos\ x}{sin\ x} \\ & = \dfrac{2+cos\ \frac{\pi}{2}}{sin\ \frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{2+ 0}{1} 2 \end{align}$

Persamaan garis senggol yang melelui titik $\left( \frac{\pi}{2}, 2 \right)$ dan gradien $m=-1$ ialah
$\begin{align} y-y_{1} & = m \left( x -x_{1} \right) \\ y-2 & = -1 \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \\ y-2 & = -x + \frac{\pi}{2} \\ y & = -x + \frac{\pi}{2} +2 \end{align}$

Memotong api-api $y$ adalah kapan $x=0$, yaitu $\left( 0, \frac{\pi}{2} +2 \right)$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{\pi}{2} +2 $

Jika engkau enggak sanggup menahan lelahnya sparing, Maka kamu harus menyanggupi pahitnya kebebalan ___pythagoras

Beberapa pembahasan tanya Orang Fungsi Trigonometri di atas adalah coretan kreatif siswa plong:

lembar jawaban penilaian buletin matematika,
lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
presentasi hasil diskusi ilmu hitung atau
pembahasan quiz ilmu hitung di kelas.

Lakukan segala sesuatu hal nan perlu kita diskusikan terkait 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Turunan Fungsi Trigonometri silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊.

Jangan Lalai Buat Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN Tahun INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊